Estimación de i en las rentas financieras

La obtención de cualquiera de las cinco variables financieras, en capitalización compuesta, es una cuestión fundamental en el cálculo de rentas.

La determinación de las variables: valor actual $V_0$, final $V_n$, el término $C$ y tiempo $n$, no presentan dificultad, ya que pueden obtenerse despejando dichos valores de la ecuación principal,

$ V_0 + (1 + i\,\mu)\,C \left[\displaystyle\frac{1 – (1 + i)^{-n}}{i}\right] + V_n\,(1 + i)^{-n} = 0 $

La consideración de prepagable o pospagable, supone en su caso multiplicar por el valor de $(1 + i)$.

Sin embargo, el cálculo de la variable $i$, al tratarse de una variable implícita, entraña una mayor dificultad.

Métodos de obtención de i

Para obtener el valor correspondiente al tipo de interés efectivo (TAE), con la ley de capitalización compuesta, se pueden emplear diferentes métodos.

Tradicionalmente, el empleo de tablas financieras, permitía la obtención de ese valor utilizando estas y en su caso, interpolando entre los valores inferior y superior más próximos. También, con la experiencia, el método de tanteo es válido, aplicando posteriormente una interpolación lineal para obtener un resultado más ajustado. Evidentemente, la obtención de $i$ será más próxima a la real si dicha interpolación se realiza sobre valores muy próximos a este, ya que la sustitución de la función exponencial por una lineal presentará una diferencia mínima.

Utilizando una hoja de cálculo, resulta también sencillo obtener el valor, ya que la función en Excel de TASA(nper;pago;va;[vf];[tipo];[estimar]) calculará mediante iteraciones, con la aplicación del método de Newton el valor de $i$ con una aproximación suficiente. En este caso, $n$ es nper, $C$ es pago, $V_0$ se corresponde con el valor inicial, vf, con el valor final $V_n$, tipo hace referencia a la condición de pospagable (valor 0) o prepagable, tomando el valor de 1. El valor opcional estimar, se refiere al primer valor que considerará, para iniciar las iteraciones, siendo el 10% si no se indica otro.

Con una calculadora financiera, de forma similar a una hoja de cálculo, se puede obtener cualquiera de las cinco variables, no solo en el caso de $i$.

Otras calculadoras que contengan la función SOLVE, también se pueden utilizar para el cálculo de $i$. En definitiva se trata de que tengan la capacidad de aplicar el método de Newton-Raphson, que es un algoritmo iterativo para encontrar aproximaciones de las raíces de una función real utilizando la recta tangente a la curva de la función en un punto para aproximar la raíz. Este método converge rápidamente y es muy eficaz.

Por supuesto, de forma manual, también podemos utilizarlo, pero no está exento de cierta dificultad. Hay que repetirlo para cada iteración (aunque converge cuadráticamente y por tanto el número de dígitos correctos se duplica en cada iteración) hasta encontrar una solución suficientemente válida.

Estimación de un i inicial

Quizás un problema inicial para la determinación de $i$ sea determinar un valor inicial del mismo. Una solución puede ser la aplicación de Shneider, quien propone la sustitución de la ley financiera de capitalización compuesta por la simple. Método en el que se puede obtener un valor de $i$ aunque en muchos casos alejado del valor real. Para la determinación de un valor inicial de $i$ como primera aproximación, podemos emplear un desarrollo de Taylor. Ésta, será válida cuanto menor sea el valor de $i$. Si denominamos $i_0$ a ese primer valor estimado, partiendo de la ecuación general, $V_0 = C \displaystyle\frac{1−(1+i)^{−n}}{i}$ Desarrollando en serie $(1 + i)^{-n}$ los dos primeros términos por Taylor, $ (1 + i)^{-n} \approx 1 – n\,i + \displaystyle\frac{n\,(n + 1)}{2}\,i^2 $ $ V_0 = C\, \displaystyle\frac{1 – \left(1 – n\,i + \displaystyle\frac{n\, (n + 1)}{2}\, i^2 \right)}{i} $ $V_0 = C\, \displaystyle\frac{n\,i – \displaystyle\frac{n\,(n + 1)}{2}\, i^2}{i} $dividiendo por $i$, $ V_0 = C\, \left({n – \displaystyle\frac{n\,(n + 1)} {2}\,i}\right)$$V_0 = C\,n – \displaystyle\frac{C\, n\, (n + 1)}{2}\,i $ factorizando el denominador y dividiendo entre $n$, obtenemos una aproximación o fórmula heurística de $i_0$, $i_0 = 2\, \displaystyle\frac{C – \displaystyle\frac{V_0}{n}}{ \displaystyle\frac{V_0}{n} + V_0}$ y si generalizamos la ecuación contemplando $V_n$ y las opciones de pospagable o prepagable, $i_0 = 2\, \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_0 – V_n}{n} – C} {(V_n – V_0) – \mu\, \left(\displaystyle\frac{V_0 – V_n}{n}\right)} $ siendo $\mu= – 1$ si la operación es prepagable y $\mu = 1$ si se trata de pospagable.

Ejemplo

\[ % Funci’on financiera VA pospagable \newcommand{\eva}[2]{% \textrm{$a$}_{\fin{#1} #2} %a_{\fin{#1} #2}
} % Funci’on financiera VA prepagable \newcommand{\evb}[2]{% \ddot{\textrm{$a$}}_{\fin{#1} #2} %a_{\fin{#1} #2} } % Función financiera VF pospagable \newcommand{\evf}[2]{% s_{\fin{#1} #2} %s_{\fin{#1} #2} } % Función financiera \newcommand{\fin}[2]{{% #1 \mkern-8.5mu\rule[.55em]{6pt}{.85pt}\rule{.85pt}{6.5pt}\, #2 % }} \] Si adquirimos un vehículo por 24.000 € y nos proponen pagar durante 48 meses una renta de 569,16 € mensuales. ¿A qué tipo de interés se ha realizado la operación?

$24\:000 = 569,16\,\eva{48}{i}$ $\eva{48}{i} = \displaystyle\frac{24\:000}{569,16} = 42,167488$Si utilizamos el método de estimación para el cálculo del primer valor $i_0$, $i_0 = 2\, \displaystyle\frac{569,16 – \displaystyle\frac{24\:000}{48}} {\displaystyle\frac{24\:000}{48} + 24\:000}$ $i_0 = 0,005646 \approx 5,565\%
$ que es un valor aproximado al real. Podemos utilizarlo como primer valor o valor estimado de $i_0$. Por interpolación, si buscamos los valores a los tipos del 0,5% y 0,6%, obtenemos, \[ \eva{48}{0,005} = 42,580318 \qquad \qquad \eva{48}{0,006} = 41,598819 \] e interpolando,
\[ \frac{42,167488 – 42,580318}{41,598819 – 42,580318} = \frac{x – 0,05}{0,06 – 0,05} \] \[ x = 0,005421 \approx 0,542\% \]

Con la calculadora, el cálculo de $i$ sería, 6 [n] 24000 [PV] 569,16 [CHS] [PMT] [i] obteniendo 0,542%

Lu	Ma	Mi	Ju	Vi	Sa	Do
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28